Cinque modelli del prezzo Bitcoin a confronto su 5.699 osservazioni daily 2010-2026: la legge di proporzione pura, un modello a tre sigmoidi che descrive l’adozione come somma di ondate logistiche, e la legge di proporzione arricchita di uno, due, tre modi log-periodici. Il vincitore — legge di proporzione con armoniche frazionarie 4/3·ω e 5/3·ω — batte le ondate di 1.433 punti di AIC con la metà dei parametri, e mantiene un errore moltiplicativo inferiore a 1,6× su orizzonti previsivi fino a tre anni.
Che forma ha la crescita di Bitcoin? È una somma di ondate di adozione che si sovrappongono nel tempo solare, oppure una struttura ricorsiva che si dispiega nel tempo logaritmico? La risposta non è una preferenza estetica: cambia in modo materiale che cosa si può prevedere su orizzonti che vanno dal trimestre ai tre anni. In questo manoscritto confrontiamo cinque modelli candidati sulla storia daily 2010-2026 — 5.699 osservazioni che attraversano tre cicli di halving — e mostriamo che il vincitore lascia la concorrenza distante di un margine quantificabile con precisione: 1.433 punti di AIC.
1. Cinque modelli, una sola domanda
I cinque candidati al confronto sono: la legge di proporzione pura (log P(t) = c + β·log t, due parametri); un modello a tre sigmoidi, cioè la somma di tre curve logistiche corrispondenti — nell’intenzione di chi le propone — a tre ondate di adozione successive (dieci parametri); la legge di proporzione con un modo log-periodico fondamentale (PL+LP1, cinque parametri), con ω = 2π/ln(λ) e λ ≈ 2,07; la legge di proporzione con il fondamentale e una prima armonica frazionaria scelta tra 4/3·ω, 5/3·ω e 2·ω (PL+LP2, sei parametri); e la legge di proporzione con il fondamentale e due armoniche frazionarie (PL+LP3, sette parametri).
Il dataset è il prezzo daily di chiusura tra il 18 agosto 2010 e il 25 marzo 2026, depurato e allineato. La variabile dipendente è log₁₀(P); il tempo t è misurato in giorni dal blocco genesi del 3 gennaio 2009. La domanda operativa è una sola: quale tra questi modelli costituisce la migliore descrizione strutturale di Bitcoin, e quale conserva potere previsivo quando lo costringiamo a giocare a carte coperte?
2. AIC e parsimonia: la regola del gioco
Per evitare che un modello con molti parametri “vinca” semplicemente sovradattando il rumore, il confronto si svolge in termini di criteri informativi. L’Akaike Information Criterion (AIC) somma due termini: la qualità del fit (verosimiglianza logaritmica) e una penalità per ogni parametro libero. La regola è semplice: più basso è l’AIC, meglio è. Una differenza di AIC inferiore a 2 è considerata inconsistente; tra 2 e 7 positiva; oltre 10 decisiva. Tra 100 e 1.000 si parla di evidenza schiacciante.
Il punto matematico è che la parsimonia non è un capriccio estetico ma un teorema: in presenza di rumore, un modello con più parametri ha più gradi di libertà per inseguire l’errore stocastico, e questo lo penalizza in qualunque test che separi il segnale dal rumore. La domanda non è quale modello descriva meglio i dati osservati; è quale modello descriva meglio i dati al netto della propria complessità.
3. La classifica dei cinque modelli
I risultati del fit in-sample, ordinati per AIC (più basso vince), sono nella tabella seguente. RMSE è la radice dell’errore quadratico medio in log₁₀ del prezzo; ΔAIC è la distanza dal modello vincitore.
| Modello | Parametri | RMSE log₁₀ | AIC | ΔAIC |
|---|---|---|---|---|
| Legge di proporzione (PL) | 2 | ≈ 0,30 | +2.528 | +3.980 |
| Tre sigmoidi (ondate di adozione) | 10 | 0,24 | −19 | +1.433 |
| PL + 1 modo log-periodico (LP1) | 5 | < 0,24 | ≈ −363 | +1.089 |
| PL + 2 modi (LP2) | 6 | < 0,22 | intermedio | tra +400 e +700 |
| PL + 3 modi (LP3) ← vincitore | 7 | < 0,20 | ≈ −1.452 | 0 |
Tre risultati meritano lettura attenta. Primo: i tre sigmoidi battono la legge di proporzione pura di un margine sostanziale (ΔAIC ≈ 2.547). Visto in isolamento, sembrerebbe la prova che le ondate di adozione descrivano il fenomeno meglio della legge di proporzione. Secondo: già aggiungere alla legge di proporzione il solo modo log-periodico fondamentale — cinque parametri totali — ribalta la classifica. PL+LP1 batte i tre sigmoidi (dieci parametri) di 344 punti di AIC. Terzo: aggiungendo le due armoniche frazionarie 4/3·ω e 5/3·ω, sette parametri in tutto, il vantaggio sale a 1.433 punti di AIC e 1.439 di BIC, e l’RMSE del residuo cala sotto 0,20 in log₁₀ del prezzo — circa un fattore moltiplicativo 1,6× in entrambe le direzioni.
L’interpretazione è netta: i tre sigmoidi descrivono parzialmente la struttura residua, ma lo fanno spendendo dieci parametri per ottenere meno di quanto sette parametri della legge di proporzione con log-periodicità ottengono. È la firma classica dell’overfitting mascherato da spiegazione.
4. Walk-forward su 12 origini: chi prevede meglio fino a 3 anni
Il fit in-sample misura quanto un modello aderisca alla storia già scritta. La previsione misura quanto ha imparato di trasferibile al futuro. Per valutarla, ricalcoliamo i parametri di ognuno dei cinque modelli a dodici epoche successive — il 3 gennaio degli anni dal 2014 al 2025, corrispondenti a età di Bitcoin tra 5 e 16 anni — usando esclusivamente i dati disponibili fino a ciascuna data, e misuriamo l’errore di previsione su orizzonti di 3, 6, 12, 24 e 48 mesi.
Il quadro è il seguente. I tre sigmoidi, dominatori in-sample, crollano. L’RMSE di previsione del modello a tre sigmoidi sale rapidamente: raggiunge un fattore moltiplicativo di circa 2,5× a un anno e supera il fattore 3× — equivalente a un errore di 0,5 in log₁₀ — sull’orizzonte di due anni. La legge di proporzione pura, al contrario, ha una curva di errore piatta fino a 24 mesi e migliora con l’invecchiamento del sistema. La legge di proporzione con il solo fondamentale, o con il fondamentale più una armonica, batte la legge di proporzione pura fino a un orizzonte di tre anni, soprattutto se si include il decadimento reciproco di ampiezza con offset δ = 2 anni.
La conclusione è la dissociazione, in forma quantitativa, tra fit descrittivo e capacità predittiva. Il modello a tre sigmoidi descrive bene le bolle del 2013, del 2017 e del 2021 — le sue date di inflessione cadono a un’età di Bitcoin di 4,1, 8,29 e 12,0 anni, esattamente sulle fasi di build-up di quelle tre bolle — ma non porta alcuna informazione strutturalmente trasferibile al futuro. Le ondate sono un racconto del passato, non una previsione.
5. Perché la legge di proporzione regge: la derivazione meccanica
L’esponente β della legge di proporzione di Bitcoin sul prezzo non è un parametro libero. Si decompone come prodotto di due esponenti, ciascuno radicato in un fenomeno fisico misurabile in modo indipendente. Il primo, βA ≈ 3,046 ± 0,012 (R² = 0,977), governa la crescita del numero di indirizzi attivi della rete come potenza del tempo: una diffusione cubica tipica di processi di propagazione su reti scale-free, dove il tre emerge come somma di una crescita lineare nei nuovi infettati, di una convoluzione con il tempo di incubazione, e di una integrazione tra incidenza e prevalenza. Il secondo, βM ≈ 1,838 ± 0,031 (R² = 0,951), descrive lo scaling del valore della rete come potenza del numero dei suoi nodi: un coefficiente compreso tra il limite lineare (ogni utente ha valore costante) e quello quadratico (rete completamente connessa).
Il prodotto βA · βM dà 3,046 × 1,838 = 5,600, distante dall’osservazione β ≈ 5,69 dell’1,6%. La derivazione, condotta in Cryptograssini.com, fornisce così il perché della legge di proporzione: non è una regolarità statistica fortunata, ma il prodotto meccanico di due processi di rete misurabili separatamente. È questa la ragione per cui la legge di proporzione, anche nella sua forma più semplice, regge tre anni di previsione mentre le ondate sigmoidi non superano l’anno.
6. Implicazioni: leggere i prossimi tre anni di Bitcoin
Tradotto in conseguenze operative, il quadro dice tre cose. Una: per orizzonti tra dodici e trentasei mesi, una previsione basata sulla legge di proporzione con uno o due modi log-periodici è statisticamente preferita a tutte le alternative testate; l’errore moltiplicativo atteso resta inferiore a 1,6× nei test out-of-sample, contro fattori superiori a 3× dei modelli a ondate. Due: la fonte della struttura non è un evento esogeno (l’halving, il dollaro debole, l’arrivo degli ETF) ma l’interazione tra invarianza di scala continua della rete e influenze esterne — un fenomeno endogeno di tipo gruppo di rinormalizzazione, oscillatorio nel tempo logaritmico. Tre: il modello è falsificabile in cinque modi precisi, e tutti possono essere monitorati in tempo quasi reale. Una violazione del floor a tre sigma per più di un anno; una deriva dell’esponente β fuori dall’intervallo [5,0; 7,0]; un crollo del coefficiente R² sotto 0,80 su finestre triennali; una rottura della relazione di valore di rete con R² inferiore a 0,70; un collasso dell’esponente di adozione βA sotto 2 per oltre un anno. Nessuna di queste condizioni è oggi violata.
Ciò che resta da scrivere è il prossimo paragrafo della stessa storia: il livello di prezzo che, su un orizzonte 2028-2029, la legge di proporzione con due armoniche frazionarie pone tra i sei e i sette cifre. La differenza tra prevederlo con un errore di 1,6× e con un errore di 3× è la differenza tra una proiezione operativa e un esercizio retrospettivo.
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