— Manoscritto · Modelli stocastici di prezzo —
Abstract. Il moto browniano geometrico (GBM) è il modello nullo della finanza quantitativa: assume che i rendimenti logaritmici siano indipendenti, gaussiani e privi di memoria — una pura passeggiata casuale. Applicato a Bitcoin, questo assunto viene rigettato su più fronti: code grasse, clustering di volatilità, struttura deterministica a legge di potenza (R² ≈ 0,96–0,99) e log-periodicità. La conclusione è netta: il prezzo di Bitcoin non è una passeggiata casuale. Non è rumore: è struttura.
1. Il modello: moto browniano geometrico
Nel GBM il prezzo evolve secondo l’equazione differenziale stocastica
dSt = μ St dt + σ St dWt
dove μ è il drift, σ la volatilità (assunta costante) e dWt l’incremento di un processo di Wiener. È l’impianto dietro Black-Scholes: elegante, ma fondato su tre ipotesi — normalità, indipendenza, volatilità costante — che i dati di Bitcoin smentiscono una per una.
2. Le prove contro la passeggiata casuale
Su oltre 5.700 osservazioni giornaliere (2010–2026) emergono quattro fatti stilizzati incompatibili col GBM:
- Code grasse. La distribuzione dei residui non è gaussiana ma a code spesse (t di Student con ν ≈ 17,7; dispersione σ ≈ 0,30 dex). Gli eventi «impossibili» per la normale accadono regolarmente.
- Clustering di volatilità. La volatilità non è costante: si raggruppa in regimi. Le stime GARCH danno α+β ≈ 1 (quasi-IGARCH), cioè shock persistenti — l’opposto dell’indipendenza del moto browniano.
- Struttura a legge di potenza. La crescita di lungo periodo segue P(t) ∝ tβ con β ≈ 5,69 (R² ≈ 0,96 OLS, fino a 0,987 nel modello completo): una legge di potenza batte l’esponenziale di un ΔAIC ≈ 7.000. Una passeggiata casuale non produce un attrattore così netto.
- Log-periodicità. Attorno al trend il prezzo oscilla con periodicità nel tempo logaritmico: modi a ω ≈ 8,75 e spaziatura λ ≈ 2,07 (≈ φ²). Un modello a invarianza di scala discreta (DSI) a tre modi batte il miglior ciclo lineare di un ΔAIC compreso tra 140 e 452. (Per inciso: il celebre «ciclo di quattro anni» è solo l’approssimazione lineare di questa struttura; il miglior ciclo lineare cade a 3,50 anni.)
3. Endogeneità: la struttura è reale, non un artefatto
Si potrebbe obiettare che la struttura derivi dal numerario (il dollaro). La decomposizione spettrale del residuo risponde: la componente endogena e log-periodica («twist») spiega il 60–80% dell’energia, contro un 20–40% esogeno («writhe»). E misurando Bitcoin in oro la stessa firma sopravvive (β ≈ 5,2, ω ≈ 8,7, λ ≈ 2,07): è una proprietà della rete, non un riflesso della valuta.
4. Tesi centrale e implicazioni
Il moto browniano resta un benchmark nullo utile: serve a misurare quanto Bitcoin se ne discosti. E se ne discosta in modo sistematico. Implicazione operativa: ogni misura di rischio basata sull’ipotesi gaussiana — VaR normale, intervalli «a tre sigma» — sottostima strutturalmente la probabilità degli eventi estremi. Servono code spesse, volatilità variabile e dinamiche di scala.
5. Falsificabilità
La tesi è falsificabile: se i residui tornassero gaussiani, se α+β del GARCH crollasse ben sotto 1, o se l’esponente β uscisse stabilmente dall’intervallo [5,0; 7,0], il quadro andrebbe rivisto. Finora nessuna di queste condizioni si è verificata. La passeggiata casuale, semplicemente, non descrive Bitcoin.
Disclaimer: contenuti a fini esclusivamente formativi e divulgativi, non costituiscono consulenza finanziaria.